Und hier kommt eine typische Aufgabe aus der Analytischen Geometrie:

Die Grundfläche einer Pyramide hat die Eckpunkte A(1|1|1), B(2|3|3), C(3|2|-1) und D(4|4|1) und eine Spitze bei S(6,5|-1,5|3).

a) Geben Sie eine Ebenengleichung der Grundfläche in Parameterform
und in Koordinatenform an. Zeigen Sie, dass auch der vierte Eckpunkt
der Grundfläche in dieser Ebene liegt.

b) Zeigen Sie dass die Grundfläche ABCD ein Quadrat ist
(d.h. gleiche Seitenlängen und rechter Winkel).

c) Berechnen Sie den Winkel, um den die Grundfläche gegen die
xy-Ebene geneigt ist.

d) Berechnen Sie den kürzesten Abstand der Spitze S von der Grundfläche.

e) Berechnen Sie das Volumen der durch diese Punkte gebildete Pyramide.

a) Parameterform
(1| 1 |1)+ r* (1| 2| 2)+ s*( 2| 1 |-2)
Die Ebenengleichung bildet man durch 3 Punkte : das Aufstellen des Stützvektors in diesem Fall Punkt A und dann die Richtungsvektoren AB und AC.
Die Koordinatengleichung berechnet man indem man das Verktorprodukt aus den Richtungsvektoren bildet und um d raus zu bekommen den Stützvektor einsetzt.
g: -6x+6y-3z=-3
Den Punkt D kann man dann in die Parameterform einsetzten und das Gleichungssystem auflösen und die punkte r und s in bsw. In die 1. Gleichung einsetzten und überprüfen ob das gleiche auf beiden seiten raus kommt, was der Fall ist nämlich 4=4

b) Man kann sehen dass alle vier Seiten gleich lang sind: also AB, AC, BD und CD haben eine Länge von 3 und dadurch dass das Skalarprodukt von allen vier Seiten 0 ergibt, ist es eindeutig dass es sich um ein Quadrat handelt.

d) man nimmt die Koordinatengleichung und setzt den Punkt S ein und teilt diese mit der Länge des Punktes S.
Das Ergebnis ist dann 6.

e) 1/3* (OD)×(OA)*(OS)

1/3* (4|4|1)×(1|1|1)*(6.5|-1.5|3)
Zunächst wird das Vektorprodukt von OA und OD gebildet und anschließend mit OS und 1/3 multipliziert.
Das Volumen beträgt dann 7.5.

Bei der c bin ich nicht weiter gekommen.

a) ist perfekt! Man darf die Koordinatengleichung noch mit -3 "kürzen", dann wird sie einfacher: E: 2x -2y + z = 1

b) ist perfekt!

c) Um den Neigungswinkel einer Ebene zu berechnen, schaut man sich den Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und der z-Achse an. Dieser Winkel ist nämlich immer genauso groß, wie der Neigungswinkel der Ebene. Der Normalenvektor von E ist (2 -2 1) und die z-Achse hat den Richtungsvektor (0 0 1). Den Rest machst du mit der Cosinusformel für Winkel zwischen zwei Vektoren...

Ok danke und stimmen die Ergenisse bei d) und e) ?

d) hast du mit der Abstandsformel für die Hesse'sche Normalform gelöst. Perfekt. Eine andere Möglichkeit wäre das Lotfußpunktverfahren gewesen. Beides ist gleich richtig.

e) bin ich nicht einverstanden. V = 1/3* |(AB)×(AC)| * 6 = 18