Kurz gesagt: Ein Integral kann positiv oder negativ sein, aber die Fläche wird immer positiv gezählt.

1. Beispiel: f(x) = x² - 2x
Das Integral von 0 bis 2 ergibt -4/3.
Aber die Fläche von 0 bis 2 ist 4/3 cm² (oder Flächeneinheiten) groß.

2. Beispiel: f(x) = x³ - 3x² + 2x
Das Integral von 0 bis 2 ergibt Null. Die positiven und negativen Anteile sind gleich groß und heben sich in der Bilanz auf.
Die Fläche besteht aus zwei Teilen: Die linke Fläche von 0 bis 1 integriert ergibt 1/4. Die rechte Fläche von 1 bis 2 integriert ergibt - 1/4, aber wird positiv gezählt. Die Gesamtfläche ist also 1/4 + 1/4 = 1/2 cm².

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

Hallo Ari,
du hattest mich noch nach Aufgaben gefragt, bei denen es speziell um Verfahren geht. Hier sind einige:

Analysis
1. Erläutern Sie die Begriffe "Wendepunkt" und "Sattelpunkt" eines Graphen. Geben Sie jeweils ein Verfahren zur Berechnung an und demonstrieren Sie diese anhand der Funktion f(x) = x³ + 1.

2. Ein Verfahren, den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse zu berechnen ist, die Stammfunktion zu bestimmen und die Integrationsgrenzen einzusetzen. Nennen Sie ein weiteres Verfahren, um den Flächeninhalt unter einer Kurve näherungsweise zu bestimmen. Welches der beiden Verfahren würden Sie bei der Funktion anwenden?

Lineare Algebra
3. Erläutern Sie, was man unter einem "Normalenvektor" versteht und geben Sie zwei Verfahren an, um ihn zu berechnen.

4. Geben Sie zwei verschiedene Verfahren an, um den kürzesten Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen.

Stochastik
5. Erläutern Sie den Begriff "Erwartungswert" und wie dieser berechnet wird. Geben Sie die Bedingung an, unter welcher ein Gewinnspiel als "fair" bezeichnet wird.

6. Nennen Sie zwei Darstellungsweisen, wie man bedingte Wahrscheinlichkeiten grafisch darstellen kann. Nennen Sie außerdem einen mathematischen Satz, mit dem man die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) mithilfe von P_B(A) berechnen kann.

1. Ein Wendepunkt ist ein Punkt an dem es eine Krümmung also von Rechts nach Links oder andersrum übergeht.
Ein Sattelpunkt ist kein Extremum also wenn die zweite Ableitung gleich Null ist.
f(x)=x^3+1
f'(x)=3x^2
f''(x)=6x
f'''(x)=6
Not. Bedingung:
Die zweite Ableitung muss gleich Null gesetzt werden. In diesem Fall bekommen wir den x Wert 0 raus und setzten diesen in die Ausgangsfunktion ein, um den y Wert zu erhalten.
Hinr. Bedingung:
Um noch zu überprüfen ob es sich um einen Rechts-Links-Wp oder andersrum handelt setzten wir den x Wert O in die dritte Ableitung ein: Da sich da nichts an der 6 ändert und dieser Wert größer als 0 ist handelt es sich um einen Rechts Links WP bei (0/1).

2.
Eine andere Methode wäre die Streifenmethode.
Man teilt die Fläche unter der x Fläche in gleich grosse Rechtecke auf und addiert diese.
Man kann damit aber nur näherungsweise den Flächeninhalt bestimmen. Je schmaler die Rechtecke desto besser kann man den exakten Wert bestimmen.
Bei der vorgegebenen Funktion kann man auch die Streifenmethode anwenden.

3. Der Normalenvektor c steht senkrecht bzw orthogonal auf a und b. Man kann durch das Skalarprodukt a*c=0 bzw b*c=0 überzeugen.
Diesen berechnet man durch das Vektorprodukt der Richtungsvektoren.

4. Der etwas längere Weg ist der Lotfußpunktverfahren;
Man stellt eine Hilfsebene auf indem man den gegebenen Punkt als Stützvektor benutzt und als Richtungsvektor nimmt man den Normalenvektor der sich aus der Koordinatenform ergibt.
Man setzt dann die Geradengleichung zeilenweise in die Koordinatenform ein und löst dann nach dem Parameter auf.
Den berechneten Paramter setzt man dann in die Hilfsebene ein, um den Lotfußpunkt zu erhalten.
Anschließend teilt berechnet man den Abstand von PL.
Dann gibt es die Hessesche Normalenform.
Man setzt in die Koordinatenform den Pubkt ein und teilt diesen durch die Länge des Normalenvektors der Ebene.

5.Der Mittelwert der Warscheinligkeitverteilung einer Zufallsvariable X wird Erwartungswert genannt.
Ein Spiel ist fair wenn E(X) dem Einsatz entspricht.

6.Man kann die Vierfeldertafel nutzen.
Für die Warscheinligkeit eines Ereignisses A unter Voraussetzung des Ereignisses B schreibt man P B(A).
P B(A)= P(A n B)/ P(B)