Bayern – Deutsch:

Mathe Abi 2016Deutsch

Schüler | Bayern

04.05.2016 um 19:17 Uhr

Also falls jemand interessiert ist: Hier die Lösung von Analysis Aufgabengruppe 1 Teil B Nr. 1g), wo man den Zusammenhang ...=1 beweisen sollte: $\begin{align*} &=\frac14\cdot\left[f(x) \right ]^2-\left[f'(x) \right ]^2\\ &=\frac14\cdot\left(e^{\frac12x}+e^{-\frac12x} \right)^2-\left[\frac12\cdot\left( e^{\frac12x}-e^{-\frac12x} \right ) \right ]^2\\ &=\frac14\cdot\left[\left(e^{\frac12x}\right)^2+2\cdot e^{\frac12x}\cdot e^{-\frac12x}+\left(e^{-\frac12x} \right )^2\right]-\frac14\cdot\left[\left(e^{\frac12x}\right)^2-2\cdot e^{\frac12x}\cdot e^{-\frac12x}+\left(e^{-\frac12x} \right )^2\right]\\ &=\frac14\cdot\left(e^{\frac12x}\right)^2+\frac14\cdot 2\cdot e^{\frac12x}\cdot e^{-\frac12x}+\frac14\cdot\left(e^{-\frac12x} \right )^2-\frac14\cdot\left(e^{\frac12x}\right)^2+\frac14\cdot2\cdot e^{\frac12x}\cdot e^{-\frac12x}-\frac14\left(e^{-\frac12x} \right )^2\\ &=\frac14\cdot2\cdot e^{\frac12x}\cdot e^{-\frac12x}+\frac14\cdot2\cdot e^{\frac12x}\cdot e^{-\frac12x}=\frac14\cdot2\cdot e^{\frac12x-\frac12x}+\frac14\cdot2\cdot e^{\frac12x-\frac12x}\\ &=\frac12\cdot e^0+\frac12\cdot e^0=\frac12\cdot1+\frac12\cdot1=1 \end{align*}$

Zuletzt bearbeitet von Derthas am 04.05.2016 um 19:21 Uhr

#344235

Derthas

Schüler | Bayern

04.05.2016 um 19:40 Uhr

Und noch die Teilaufgabe h):
Aus der g) ist ja bekannt: $\frac14\cdot\left[f(x) \right ]^2-\left[f'(x) \right ]^2=1\Rightarrow \left[f'(x) \right ]^2=\frac14\cdot\left[f(x) \right ]^2-1$

Daraus folgt:
$\begin{align*} L_{0;b}&=\int_0^b\sqrt{1+\left[f'(x) \right ]^2}\;\; \mathrm dx\\ &=\int_{0}^b\sqrt{1+\frac14\cdot\left[f(x) \right ]^2-1}\;\; \mathrm dx\\ &=\int_0^b\sqrt{\frac14\cdot\left[f(x) \right ]^2}\;\; \mathrm dx\\ &=\int_0^b\frac12\cdot f(x)\;\; \mathrm dx=\frac12\cdot\int_0^b f(x)\;\; \mathrm dx\\&=\frac12\cdot\int_0^b e^{\frac12x}+e^{-\frac12x}\;\; \mathrm dx\\ &=\frac12\cdot\left[2\cdot e^{\frac12x}-2\cdot e^{-\frac12x} \right ]_0^b\\ &=\left[ e^{\frac12x}- e^{-\frac12x}\right ]_0^b\\ &=e^{\frac12b}-e^{-\frac12b}-e^0+e^0=e^{\frac12b}-e^{-\frac12b} \end{align*}$