Hallo arkapara,

Also wir wissen aus der Aufgabenstellung, dass k>0 sein muss. Also können wir daraus schlussfolgern, dass

2k > 0 ist.

Außerdem wissen wir, dass

e^4x² > 0 (Wer es nicht glaubt, Limes hilft ^^)

Dementsprechend ist der Vorzeichenwechsel der gesamten Funktion nur noch von dem Faktor

1-8x² abhängig.

Also schaut man dann mit den NS +- Wurzel ( 1/8 ) einfach den VZW von 1-8x² an. Und das wäre dann dasselbe, wie man es bei den ganzrationalen Funktionen am Anfang gemacht hat.

Sprich für die NS + Wurzel ( 1/8 ) setzt man einen Wert etwas darüber und etwas darunter in die 1. Ableitung (deine Funktion f') dann ein, sieht man ja wofür ein positiver Wert rauskommt und wo ein negativer. Bei dieser NS wäre es ein Vorzeichenwechsel von + zu - (kannst ja mal probeweise 0,35 und 0,36 einsetzen als Werte unter und über der NS). Den VZW kann man auch sehen, wenn man sich das Ding mal zeichnen lässt: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-8x%C2%B2

Bei der anderen NS mit dem negativen Vorzeichen ist der VZW von - zu +.

Fazit: Da der Parameter das Vorzeichen der Funktion nicht beeinflussen kann, reicht es, wenn du nur den Faktor 1-8x² betrachtest. Ein Faktor kann immer nur dann logischerweise das Vorzeichen der Funktion ändern, wenn der Faktor ansich negativ sein kann (bspw. durch negative Parameterwerte).
Es macht in solchen Fällen einfach immer Sinn, jeden Faktor einzeln zu betrachten und zu entscheiden, ob der das Vorzeichen ändern kann oder nicht.

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Doch was macht man, wenn in der Aufgabe nicht steht: k>0 ?

Was, wenn k im Intervall von [-2;2] liegt?

In dem Fall macht man einfach eine Fallunterscheidung und schaut, wie sich das Vorzeichen der Funktion ändert in Abhängigkeit vom Parameter. Ich werfe hierfür mal den Begriff "Diskriminante" in den Raum, sollte dir das nichts sagen, sag nochmal Bescheid, dann erkläre ich dir auch noch fix die Fallunterscheidung.

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Allgemeines zur hinreichenden Bedingung von Funktionsuntersuchungen:

Das hinreichende Kriterium des VZW ist das unseriöseste hinreichende Kriterium, das man nutzen kann. Bei solchen Funktionen wie die da oben ist das Ableiten ja noch relativ leicht, bietet sich dementsprechend an.

Als alternatives hinreichendes Kriterium bietet sich auch immer an, zu argumentieren.

Beispiel: ich hab eine Wendestelle herausgefunden und muss dessen wahre Existenz jetzt anhand hinreichender Bedingung beweisen. Ich habe berechnet, dass sich der Graph vor der Wendestelle in einer Rechtskurve über der x-Achse befindet und habe vorher zum Beispiel beim Randverhalten herausgefunden, dass das Ding einen Grenzwert von 0 hat, sprich der Graph schmiegt sich der x-Achse in einer Linkskurve an.
In einem solchen Fall kann man somit argumentieren, dass sich das Krümmverhalten der Funktion ändern muss und dass daher eine Wendestelle vorliegen muss.

Und ganz wichtig: Erkenntnisse aus einer Skizze oder aus dem Verlauf des Graphen, welcher im GTR dargestellt wird, dürfen nicht einfach als hinreichendes Kriterium verwendet werden. Hierzu müssen immer Rechnungen vorliegen oder die entsprechenden Argumente (s.o.).

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Ich hoffe, ich konnte dir damit ein wenig weiterhelfen...

MfG
Mirko