alsooo habe mir gerade meine alten klausuren angeschaut & wollte ein paar aufgaben hier bereitstellen. evtl. könnten diese auch gemeinsam dann gelöst werden, finde nicht mehr zu allen die lsg.
also
a.) Bestimmen Sie eine Gleichung von F in Normalenform für E1: (0/2/7) + r * ( 0/3/1) + s * ( -4/1/3) und E2: 2x1+x2-x3=-1 indem Sie E1 erst in eine Normalenform umwandeln. ( Tipp: n1= (2/-1/3)
b.) Berechnen Sie den Schnittwinkel alpha zwischen E1 & E2 aus Teil a, dieser liegt zwischen 0 & 90,
c.) (absoluter horror)
Bestimmen Sie eine Koogl. einer Ebene E3 die parallel zu E2 aus Teil a,) ist und eine Gleichung einer Ebene4 ungleich F in Normalenform, die orthogonal zu E2 aus teil a.) ist
;D
also
a.) Bestimmen Sie eine Gleichung von F in Normalenform für E1: (0/2/7) + r * ( 0/3/1) + s * ( -4/1/3) und E2: 2x1+x2-x3=-1 indem Sie E1 erst in eine Normalenform umwandeln. ( Tipp: n1= (2/-1/3)
b.) Berechnen Sie den Schnittwinkel alpha zwischen E1 & E2 aus Teil a, dieser liegt zwischen 0 & 90,
c.) (absoluter horror)
Bestimmen Sie eine Koogl. einer Ebene E3 die parallel zu E2 aus Teil a,) ist und eine Gleichung einer Ebene4 ungleich F in Normalenform, die orthogonal zu E2 aus teil a.) ist
;D
M***n
ehm. Abiunity Nutzer
06.05.2011 um 01:29 Uhr
Huhu,
Na dann möchte ich mich mal daran probieren
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Aufgabe a)
I Umwandlung von E1 in die Normalenform:
Man nehme die beiden Spannvektoren und bilde das Kreuzprodukt daraus. Der resultierende Vektor ist der Normalenvektor zu den beiden Spannvektoren:
n1 = (3*3-1*1 / 1* (-4) - 0*3 / 0*1 - (-4)*3) = ( 8 / -4 / 12)
= (2 / -1 / 3)
-> Kürzen mit 4 möglich, da Normalenvektor ein Richtungsvektor ist.
II Aufstellen der Normalenform von E1:
[x - (0/2/7)] * (2 / -1 / 3) = 0
III Bestimmung von F -> hier setze ich aus, weil ich gerade keinen Plan hab, was F ist. Soll das die Schnittgerade der beiden Ebenen sein? Wenn ja dürfte das doch kein Problem mehr ab hier sein, oder?
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Aufgabe b)
Schnittwinkelberechnung zweier Ebenen macht man über das Skalarprodukt derer Normalvektoren. Also gilt:
n1 * n2 = |n1| * |n2| * cos (alpha)
<=> alpha = arccos ( (n1 * n2) / (|n1| * |n2|) )
n1 haben wir in a) berechnet:
n1 = (2 / -1 / 3)
n2 können wir aus der Koordinatenform von E2 direkt ablesen:
n2 = (2 / 1 / -1)
=> Also gilt:
alpha = arccos { [2*2+(-1)*1+3*(-1)] / [(WURZEL (2²+(-1)²+3²) * WURZEL (2²+1²+(-1)²) ]}
= arccos ( 0 / EGAL) = arccos (0) = 90°
Das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren ist 0, daher stehen die beiden Ebenen orthogonal zueinander. Dass in der Aufgabe steht, dass der Winkel zwischen 0° und 90° liegt, dürfte damit eindeutig falsch sein, da es nicht dazwischen liegt
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Aufgabe c)
I Ebene E3 bestimmen, welche parallel ist zu E2:
Sehr einfach. Zwei parallele Ebenen zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Normalenvektoren linear abhängig sind. Und da weiter keine Einschränkungen für die Ebene gelten, kannst du quasi sämtliche Ebenen hinschreiben, deren Normalenvektoren ein Vielfaches von E2 sind -> n2 aus Koordinatengleichung ablesen, mit 2 multiplizieren bspw. so dass man einen neuen Normalenvektor hat.
Bin mir gerade nicht so ganz sicher, ob das wirklich schon alles war dafür, weil so horror wäre das dann nicht gewesen ^^ Musst halt nur drauf achten, dass die Ebenen nicht identisch sind -> Rechte Seite vom "="-Zeichen einfach unverändert lassen, dürfte dafür ausreichen glaub ich.
II Bestimmen von E4:
Man nehme wieder das Skalarprodukt von n2 und einem bisher noch unbestimmten Vektor r und setze es 0:
0 = n2 * r = 2r1 + 1r2 - 1r3
Da auch hier die Grenzen (fast) offen sind, kannste einfach r1, r2 und r3 so bestimmen, dass die Gleichung erfüllt ist und dass die Gleichung nicht so aussieht wie jene von F (und ich weiß immernoch nicht wirklich, was F ist xD).
Hast du die r's bestimmt, ist das der Normalenvektor deiner Ebene E4. Für die Koordinatenform also das grundlegende Element, der Rest dürfte klar sein.
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Wenn das bei dir eine Klausuraufgabe gewesen wäre, hätte ich mich mal direkt beschwert wegen Aufgabenteil b (unstimmige Angaben) und wegen der sehr offenen Aufgabenformulierung "Bestimme F" -> was auch immer F sein soll, denn das kann einiges in dem Fall sein.
In diesem Sinne hoffe ich, dass meine Lösungen bzw. die gelieferten Ansätze dir helfen konnten.
MfG
Mirko
Na dann möchte ich mich mal daran probieren
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Aufgabe a)
I Umwandlung von E1 in die Normalenform:
Man nehme die beiden Spannvektoren und bilde das Kreuzprodukt daraus. Der resultierende Vektor ist der Normalenvektor zu den beiden Spannvektoren:
n1 = (3*3-1*1 / 1* (-4) - 0*3 / 0*1 - (-4)*3) = ( 8 / -4 / 12)
= (2 / -1 / 3)
-> Kürzen mit 4 möglich, da Normalenvektor ein Richtungsvektor ist.
II Aufstellen der Normalenform von E1:
[x - (0/2/7)] * (2 / -1 / 3) = 0
III Bestimmung von F -> hier setze ich aus, weil ich gerade keinen Plan hab, was F ist. Soll das die Schnittgerade der beiden Ebenen sein? Wenn ja dürfte das doch kein Problem mehr ab hier sein, oder?
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Aufgabe b)
Schnittwinkelberechnung zweier Ebenen macht man über das Skalarprodukt derer Normalvektoren. Also gilt:
n1 * n2 = |n1| * |n2| * cos (alpha)
<=> alpha = arccos ( (n1 * n2) / (|n1| * |n2|) )
n1 haben wir in a) berechnet:
n1 = (2 / -1 / 3)
n2 können wir aus der Koordinatenform von E2 direkt ablesen:
n2 = (2 / 1 / -1)
=> Also gilt:
alpha = arccos { [2*2+(-1)*1+3*(-1)] / [(WURZEL (2²+(-1)²+3²) * WURZEL (2²+1²+(-1)²) ]}
= arccos ( 0 / EGAL) = arccos (0) = 90°
Das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren ist 0, daher stehen die beiden Ebenen orthogonal zueinander. Dass in der Aufgabe steht, dass der Winkel zwischen 0° und 90° liegt, dürfte damit eindeutig falsch sein, da es nicht dazwischen liegt
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Aufgabe c)
I Ebene E3 bestimmen, welche parallel ist zu E2:
Sehr einfach. Zwei parallele Ebenen zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Normalenvektoren linear abhängig sind. Und da weiter keine Einschränkungen für die Ebene gelten, kannst du quasi sämtliche Ebenen hinschreiben, deren Normalenvektoren ein Vielfaches von E2 sind -> n2 aus Koordinatengleichung ablesen, mit 2 multiplizieren bspw. so dass man einen neuen Normalenvektor hat.
Bin mir gerade nicht so ganz sicher, ob das wirklich schon alles war dafür, weil so horror wäre das dann nicht gewesen ^^ Musst halt nur drauf achten, dass die Ebenen nicht identisch sind -> Rechte Seite vom "="-Zeichen einfach unverändert lassen, dürfte dafür ausreichen glaub ich.
II Bestimmen von E4:
Man nehme wieder das Skalarprodukt von n2 und einem bisher noch unbestimmten Vektor r und setze es 0:
0 = n2 * r = 2r1 + 1r2 - 1r3
Da auch hier die Grenzen (fast) offen sind, kannste einfach r1, r2 und r3 so bestimmen, dass die Gleichung erfüllt ist und dass die Gleichung nicht so aussieht wie jene von F (und ich weiß immernoch nicht wirklich, was F ist xD).
Hast du die r's bestimmt, ist das der Normalenvektor deiner Ebene E4. Für die Koordinatenform also das grundlegende Element, der Rest dürfte klar sein.
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Wenn das bei dir eine Klausuraufgabe gewesen wäre, hätte ich mich mal direkt beschwert wegen Aufgabenteil b (unstimmige Angaben) und wegen der sehr offenen Aufgabenformulierung "Bestimme F" -> was auch immer F sein soll, denn das kann einiges in dem Fall sein.
In diesem Sinne hoffe ich, dass meine Lösungen bzw. die gelieferten Ansätze dir helfen konnten.
MfG
Mirko
